모레라 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 증명
4. 응용
- 4.1. 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한
- 4.2. 리만 제타 함수와 감마 함수의 정칙성
5. 가설의 약화
참조

1. 개요

모레라 정리는 복소 평면의 열린 집합에서 정의된 연속 복소수 값 함수가 정칙 함수임을 판별하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 함수 f가 열린 집합 D 내의 모든 조각별 C¹ 닫힌 곡선에 대해 선적분 값이 0이면, f는 D에서 정칙 함수이다. 모레라 정리는 함수의 정칙성을 증명하는 데 사용되며, 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한, 리만 제타 함수와 감마 함수의 정칙성을 보이는 데 응용된다.

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모레라 정리
개요
분야	복소해석학
설명	복소 평면에서 영역에 정의된 연속 함수에 대한 홀로몰피 판정법
관련 항목	코시 적분 정리, 코시 적분 공식, 글라스만 정리
명제
내용	복소 평면의 열린 집합 D에서 정의된 연속 함수 f가 주어졌을 때, D 내의 모든 닫힌 경로 γ에 대해 ∫γ f(z) dz = 0이면, f는 D에서 정칙함수이다.
필요충분조건	함수 f가 주어진 영역 D에서 정칙함수일 필요충분조건은 임의의 닫힌 경로에 대한 선적분이 0인 것이다.
역사
이름	자친토 모레라의 이름을 땀
발표	1900년 경
중요성	함수가 도함수를 가짐을 직접 증명하지 않고도 정칙함수임을 증명하는 데 유용함

2. 정의

'''모레라 정리'''는 복소해석학에서 복소 평면상의 연결 열린집합 D에서 정의된 연속 복소수 값 함수 f에 대해, D 안의 모든 조각마다 C¹ 닫힌 곡선 γ에 대해

: $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$

을 만족하면 f는 D에서 정칙 함수라는 정리이다.^[1]

2. 1. 동치 조건

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

에 정의된 연속 함수

f\colon D\to\mathbb C

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

$f$ 는 정칙 함수이다.
임의의 조각마다 $\mathcal C^1$ 닫힌 곡선 $\gamma\colon[a,b]\to D$ 에 대하여, $\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0$ 이다.
임의의 삼각형 열린집합 $T\subseteq D$ 에 대하여, $\int_{\partial T}f(z)\mathrm dz=0$ 이다.

특히,

D

가 단일 연결 열린집합이라면,

f

가 정칙 함수인 것과 경로 적분이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다. 모레라 정리의 가정은

f

가

D

상에 원시 함수를 갖는 것과 동치이다.^[1]

이 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 정칙 함수는 부가적인 가정이 주어지지 않는 한, 그 정의역 위에 부정 적분을 갖는다고 반드시 말할 수 없다. 예를 들어 정의역이 단일 연결이면 그러한 역은 성립한다. 이는 닫힌 곡선을 따라 정칙 함수의 선적분은 0임을 말하는 코시 적분 정리에 따른다.^[1]

한편, 구분적

\mathcal C^1

급 닫힌 곡선 대신 내부 및 주변이

D

에 포함된 삼각형의 경계로 한정해도 정리는 성립하며, 또한 역도 성립한다(후술). 이것 또한 모레라 정리라고 불린다.^[1]

3. 증명

코시 적분 정리에 의하여, 경로 적분이 0이라는 조건이 정칙 함수를 함의함을 보이면 충분하다.^[1]

임의의 $w_0\in D$ 를 잡는다. $f$ 가 $w_0$ 를 포함하는 어떤 볼록 열린 근방 $w_0\in\tilde D\subseteq D$ 에서 정칙 함수임을 보이면 충분하다. ( $\tilde D$ 는 볼록 집합이므로 단일 연결 집합이다.)

함수 $F\colon\tilde D\to\mathbb C$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $F(w)=\int_{[w_0,w]}f(z)\mathrm dz\qquad\forall w\in\tilde D$

여기서 $[w_0,w]\subseteq\tilde D$ 는 $w_0$ 와 $w$ 사이의 닫힌 선분이다.

그러면, 임의의 $w\in\tilde D$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\lim_{w'\to w}\frac{F(w')-F(w)}{w'-w}&=\lim_{w'\to w}\int_{[w,w']}\frac{f(z)}{w'-w}\mathrm dz\\&=\lim_{w'\to w}\int_0^1f(w+t(w'-w))\mathrm dt\\&=f(w)\end{align}$

즉, 임의의 $w\in\tilde D$ 에 대하여, $F'(w)=f(w)$ 이다. 따라서 $F$ 는 $\tilde D$ 에서 정칙 함수이며, 그 도함수 $f$ 역시 $\tilde D$ 에서 정칙 함수이다.

이 정리에 대한 비교적 간단한 증명도 존재한다. 함수 ''f''의 부정 적분을 직접 구성한다.

일반성을 잃지 않고, ''D''가 연결되어 있다고 가정할 수 있다. ''D''에 있는 점 ''z''₀를 고정하고, 모든 $z\in D$ 에 대해, $\gamma: [0,1]\to D$ 를 $\gamma(0)=z_0$ 및 $\gamma(1)=z$ 를 만족하는 조각별 ''C''¹ 곡선으로 한다. 그런 다음 함수 ''F''를 다음과 같이 정의한다.

: $F(z) = \int_\gamma f(\zeta)\,d\zeta.$

이 함수가 잘 정의되었는지 확인하기 위해, $\tau: [0,1]\to D$ 가 $\tau(0)=z_0$ 및 $\tau(1)=z$ 를 만족하는 또 다른 조각별 ''C''¹ 곡선이라고 가정한다. 곡선 $\gamma \tau^{-1}$ (즉, $\gamma$ 와 $\tau$ 를 반대 방향으로 결합한 곡선)는 ''D''에서 닫힌 조각별 ''C''¹ 곡선이다. 그러면,

: $\int_{\gamma} f(\zeta)\,d\zeta + \int_{\tau^{-1}} f(\zeta) \, d\zeta =\oint_{\gamma \tau^{-1}} f(\zeta)\,d\zeta = 0.$

다음이 따른다.

: $\int_\gamma f(\zeta)\,d\zeta = \int_\tau f(\zeta)\,d\zeta.$

그런 다음 ''f''의 연속성을 사용하여 차분 몫을 추정하면, ''F''′(''z'') = ''f''(''z'')임을 얻는다.

''f''가 정칙 함수 ''F''의 도함수이므로, 정칙 함수이다. 정칙 함수의 도함수가 정칙 함수라는 사실은 정칙 함수가 해석적이라는 사실, 즉 수렴하는 멱급수로 표현될 수 있다는 사실, 그리고 멱급수를 항별로 미분할 수 있다는 사실을 사용하여 증명할 수 있다. 이것으로 증명이 완료된다.

4. 응용

모레라 정리는 복소해석학에서 어떤 함수가 정칙 함수인지 판별하는 데 사용되는 중요한 도구이다. 리만 제타 함수나 감마 함수의 정칙성을 증명할 때 사용되는 것처럼, 정칙 함수의 비대수적 구성을 포함하는 거의 모든 논의에서 사용된다.

4. 1. 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한

연결 열린집합

D \subseteq \mathbb{C}

에서 정의된 정칙 함수열

f_n \colon D \to \mathbb{C}

가 함수

f \colon D \to \mathbb{C}

로 콤팩트 수렴하면,

f

역시 정칙 함수이다.

임의의

z_0 \in D

를 잡고,

0 < r < d(z_0, \partial D)

를 잡으면,

\bar{\operatorname B}(z_0, r) \subseteq D

이고, 이는 콤팩트 집합이므로,

f_n

은

\bar{\operatorname B}(z_0, r)

에서

f

로 균등 수렴한다. 따라서

f

는

\bar{\operatorname B}(z_0, r)

에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다

\mathcal{C}^1

닫힌 곡선

\gamma \colon [a, b] \to \bar{\operatorname B}(z_0, r)

에 대하여,

:

\int_\gamma f(z) dz = \lim_{n \to \infty} \int_\gamma f_n(z) dz = 0

이다. 모든 삼각형은 조각마다

\mathcal{C}^1

닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여

f

는

\bar{\operatorname B}(z_0, r)

에서 정칙 함수이다.

예를 들어, ''f''₁, ''f''₂, ...가 열린 원판에서 연속 함수 ''f''로 균등 수렴하는 정칙 함수의 수열이라고 가정해보자. 코시 적분 정리에 의해, 모든 ''n''과 원판 안의 임의의 닫힌 곡선 ''C''에 대해

:

\oint_C f_n(z) dz = 0

이 성립한다. 이때 균등 수렴은 임의의 닫힌 곡선 ''C''에 대해

:

\oint_C f(z) dz = \oint_C \lim_{n \to \infty} f_n(z) dz = \lim_{n \to \infty} \oint_C f_n(z) dz = 0

이 성립한다는 것을 의미하며, 따라서 모레라 정리에 의해 ''f''는 정칙 함수이다.

열린 집합

\Omega \subseteq \mathbb{C}

에서 정의된 정칙 함수 수열 ''f''₁, ''f''₂, ...가 Ω의 콤팩트 부분 집합에서 균등하게 함수 ''f''로 수렴하면 ''f''는 정칙이다.

4. 2. 리만 제타 함수와 감마 함수의 정칙성

리만 제타 함수 ζ(s)는 Re(s) > 1인 영역에서 다음과 같이 정의된다.

:

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}

이 급수는 바이어슈트라스 M-판정법에 따라 콤팩트 수렴하며, 각

s\mapsto 1/n^s

는 정칙 함수이다. 따라서 임의의 조각마다 C¹ 곡선 γ에 대하여,

:

\int_\gamma\zeta(s)\mathrm ds=\sum_{n=1}^\infty\int_\gamma\frac 1{n^s}\mathrm ds=0

이다. 모레라 정리에 의하여, ζ(s)는 Re(s) > 1인 영역에서 정칙 함수이다.

감마 함수 Γ(s)는 Re(s) > 0인 영역에서 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\mathrm dx

각

s\mapsto x^{s-1}

는 정칙 함수이다. 따라서, 푸비니 정리에 의하여, 임의의 조각마다 C¹ 곡선 γ에 대하여,

:

\int_\gamma\Gamma(s)\mathrm ds=\int_0^\infty e^{-x}\mathrm dx\int_\gamma x^{s-1}\mathrm ds=0

이다. 모레라 정리에 의하여, Γ(s)는 Re(s) > 0인 영역에서 정칙 함수이다.

5. 가설의 약화

모레라 정리의 가설은 상당히 약화될 수 있다. 특히, 영역 ''D''에 포함된 모든 닫힌 삼각형 ''T''에 대해 다음이 성립하면 충분하다.

: $\oint_{\partial T} f(z)\, dz = 0$

이는 정칙성을 특성화한다. 즉, ''f''가 ''D''에서 정칙일 필요충분조건은 위 조건이 만족되는 것이다.

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